Lieu avec module (5) - Corrigé

Énoncé

On se place dans le plan complexe et on cherche à déterminer l'ensemble \(\mathscr{E}\)   des points \(\text M\) d'affixe \(z\) tels que \(\left\vert \dfrac{z-2}{z+1} \right\vert = 3\) .

1. Montrer que \(\text M \in\mathscr{E}\) si, et seulement si, \(z\overline{z}+ \dfrac{11}{8} (z+\overline{z}) + \dfrac{5}{8} =0\)  et \(z \neq -1\) .

2. Montrer que  \(z\overline{z}+ \dfrac{11}{8} (z+\overline{z})= - \dfrac{5}{8}\) si, et seulement si, \(\left\vert z + \dfrac{11}{8} \right\vert^2=\dfrac{81}{40}\) .

3. Conclure quant à l'ensemble \(\mathscr{E}\) cherché.

Solution

1. Soit \(z \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}& \Longleftrightarrow\left\vert \frac{z-2}{z+1} \right\vert = 3\\ & \Longleftrightarrow\left\vert \frac{z-2}{z+1} \right\vert^2 = 3^2\\ & \Longleftrightarrow\frac{ \left\vert z-2 \right\vert^2}{ \left\vert z+1 \right\vert^2} = 9\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z-2 \right\vert^2 = 9 \left\vert z+1 \right\vert^2\\ & \Longleftrightarrow\left( z-2 \right) \left( \overline{z-2} \right) = 9 \left( z+1 \right) \left( \overline{z+1} \right)\\ & \Longleftrightarrow\left( z-2 \right) \left( \overline{z}-2 \right) = 9 \left( z+1 \right) \left( \overline{z}+1 \right)\\ & \Longleftrightarrow z\overline{z} -2(z+\overline{z}) + 4 = 9(z\overline{z} + (z+\overline{z}) +1 )\\ & \Longleftrightarrow8 z\overline{z} + 11 (z+\overline{z}) + 5 = 0\\ & \Longleftrightarrow8 \left( z\overline{z} + \frac{11}{8} (z+\overline{z}) + \frac{5}{8} \right) = 0\\ & \Longleftrightarrow z \overline{z} + \frac{11}{8} (z+\overline{z}) + \frac{5}{8} = 0\end{align*}\)

2. Or, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,  \(\left( z+ \dfrac{12}{8} \right) \left( \overline{z} + \dfrac{12}{8} \right) = z \overline{z} + \dfrac{11}{8} (z+\overline{z}) + \left( \dfrac{11}{8} \right)^2\)
donc  \(z \overline{z} + \dfrac{11}{8} (z+\overline{z}) + \dfrac{5}{8} =\left( z+ \dfrac{12}{8} \right) \left( \overline{z} + \dfrac{12}{8} \right) - \left( \dfrac{11}{8} \right)^2 + \dfrac{5}{8}= \left( z+ \dfrac{12}{8} \right) \left( \overline{z} + \frac{12}{8} \right) - \dfrac{81}{40}\)
donc
\(\begin{align*}z\overline{z} + \frac{11}{8} (z+\overline{z}) + \frac{5}{8} = 0 & \Longleftrightarrow\left( z+ \frac{12}{8} \right) \left( \overline{z} + \frac{12}{8} \right) - \frac{81}{40} = 0\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z + \frac{11}{8} \right\vert^2 = \frac{81}{40} .\end{align*}\)

3. On note \(\text A\)  le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A= -\dfrac{11}{8}\) . 
On a donc, pour tout \(z \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \}\) ,
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}& \Longleftrightarrow\left\vert z + \frac{11}{8} \right\vert^2 = \frac{81}{40} .\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z - \left( -\frac{11}{8} \right) \right\vert = \sqrt{ \frac{81}{40} }.\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z-z_\text A \right\vert = \sqrt{ \frac{81}{40} }\\ & \Longleftrightarrow \text A\text M = \frac{9\sqrt{10}}{20}\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}\) est le cercle de centre \(\text A\) et de rayon \(\dfrac{9\sqrt{10}}{20}\) .